home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NeXT Education Software Sampler 1992 Fall / NeXT Education Software Sampler 1992 Fall.iso / Physics / Rotator / Rotator.app / RotatingPendulum.ma next >
Text File  |  1991-12-05  |  7KB  |  134 lines
  1. (*^
  2.  
  3. ::[paletteColors = 128; currentKernel; 
  4.     fontset = title, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeTitle, center, M7, bold, L1, e8,  24, "Times"; ;
  5.     fontset = subtitle, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeTitle, center, M7, bold, L1, e6,  18, "Times"; ;
  6.     fontset = subsubtitle, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeTitle, center, M7, italic, L1, e6,  14, "Times"; ;
  7.     fontset = section, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeSection, grayBox, M22, bold, L1, a20,  18, "Times"; ;
  8.     fontset = subsection, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeSection, blackBox, M19, bold, L1, a15,  14, "Times"; ;
  9.     fontset = subsubsection, inactive, noPageBreakBelow, nohscroll, preserveAspect, groupLikeSection, whiteBox, M18, bold, L1, a12,  12, "Times"; ;
  10.     fontset = text, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  11.     fontset = smalltext, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  10, "Times"; ;
  12.     fontset = input, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeInput, M42, N23, bold, L1,  12, "Courier"; ;
  13.     fontset = output, output, inactive, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, L-5,  12, "Courier"; ;
  14.     fontset = message, inactive, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, L1,  12, "Courier"; ;
  15.     fontset = print, inactive, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, L1,  12, "Courier"; ;
  16.     fontset = info, inactive, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeOutput, M42, N23, L1,  12, "Courier"; ;
  17.     fontset = postscript, PostScript, formatAsPostScript, output, inactive, noPageBreakBelow, nowordwrap, preserveAspect, groupLikeGraphics, M7, l34, w282, h287, L1,  12, "Courier"; ;
  18.     fontset = name, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, italic, L1,  10, "Times"; ;
  19.     fontset = header, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  20.     fontset = Left Header, nohscroll, cellOutline,  12;
  21.     fontset = footer, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, center, M7, L1,  12;
  22.     fontset = Left Footer, cellOutline, blackBox,  12;
  23.     fontset = help, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  10, "Times"; ;
  24.     fontset = clipboard, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  25.     fontset = completions, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12, "Courier"; ;
  26.     fontset = special1, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  27.     fontset = special2, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  28.     fontset = special3, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  29.     fontset = special4, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;
  30.     fontset = special5, inactive, nohscroll, noKeepOnOnePage, preserveAspect, M7, L1,  12;]
  31. :[font = title; inactive; preserveAspect; ]
  32. Lagrange's Equations for the Motion of a Rotating Pendulum.
  33. :[font = subtitle; inactive; preserveAspect; ]
  34. by Charles G. Fleming
  35. Educational Computing Services
  36. Allegheny College
  37. Partially supported by a grant from the 
  38. Vira Heinz Endowment.
  39. :[font = section; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  40. The derivation of the Lagrange's equations.
  41. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  42. The Coordinates 
  43. :[font = input; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  44.  
  45. The rotating pendulum is formed by attaching a pendulum to
  46. a circular wheel which is rotating at a constant angular
  47. speed, denoted by w, and which is centered at the origin of 
  48. a cartesian coordinate system.  We let r denote the radius 
  49. of the wheel, The pendulum has an arm whose length will be 
  50. denoted by l.  Finally, theangle formed by the pendulum arm 
  51. and the y axis is denoted by theta.  Theta is measured 
  52. counterclockwise from the negative y axis.  With these 
  53. variables, the position of themass is given by the following
  54. formulas. 
  55. ;[s]
  56. 2:0,0;1,1;542,-1;
  57. 2:1,10,8,Courier,1,12,0,0,0;1,14,11,Times,0,16,0,0,0;
  58. :[font = input; initialization; preserveAspect; ]
  59. *)
  60. x = r Cos[w t] + l Sin[theta[t]]
  61. (*
  62. :[font = input; initialization; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  63. *)
  64. y = r Sin[w t] - l Cos[theta[t]]
  65. (*
  66. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  67. Kinetic Energy
  68. :[font = input; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  69. The kinetic energy of the system is computed by using the 
  70. usual formula  K.E. = 1/2 (m1v12 + m2v22).  We will
  71. denote the kinetic energy by T.
  72. ;[s]
  73. 11:0,0;87,1;88,2;89,3;90,4;91,5;95,6;96,7;97,8;98,9;99,10;142,-1;
  74. 11:1,13,10,Courier,0,16,0,0,0;1,13,10,Courier,64,16,0,0,0;1,13,10,Courier,0,16,0,0,0;1,13,10,Courier,64,16,0,0,0;1,13,10,Courier,32,16,0,0,0;1,13,10,Courier,0,16,0,0,0;1,13,10,Courier,64,16,0,0,0;1,13,10,Courier,0,16,0,0,0;1,13,10,Courier,64,16,0,0,0;1,13,10,Courier,32,16,0,0,0;1,13,10,Courier,0,16,0,0,0;
  75. :[font = input; initialization; preserveAspect; ]
  76. *)
  77. T = (m/2) (D[x,t]^2 + D[y,t]^2)
  78. (*
  79. :[font = input; initialization; preserveAspect; ]
  80. *)
  81. T = Expand[%]
  82. (*
  83. :[font = input; initialization; preserveAspect; ]
  84. *)
  85. T = % /. Cos[x_]^2  :> 1 -  Sin[x]^2
  86. (*
  87. :[font = input; initialization; preserveAspect; ]
  88. *)
  89. T = Simplify[%]
  90. (*
  91. :[font = input; initialization; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  92. *)
  93.  
  94. T = m/2 (r^2 w^2 + 2 l r w Sin[theta[t] - t w] theta'[t]
  95.         + l^2 theta'[t]^2)
  96. (*
  97. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  98. Potential Energy
  99. :[font = input; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  100. The potential energy of the mass at the end of the pendulum
  101. is given by the usual formula.
  102. ;[s]
  103. 1:0,0;90,-1;
  104. 1:1,14,11,Times,0,16,0,0,0;
  105. :[font = input; initialization; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  106. *)
  107. V = m g y
  108. (*
  109. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  110. Lagrangian
  111. :[font = input; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  112. Recall that the Lagrangian is the kinetic energy minus the
  113. potential energy.
  114. ;[s]
  115. 1:0,0;76,-1;
  116. 1:1,14,11,Times,0,16,0,0,0;
  117. :[font = input; initialization; preserveAspect; endGroup; endGroup; ]
  118. *)
  119. L = T - V
  120. (*
  121. :[font = subsection; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  122. Lagrange's Equations
  123. :[font = input; inactive; Cclosed; preserveAspect; startGroup; ]
  124. Our last step is to compute Langrange's equations. 
  125. These second order equations will describe the motion of 
  126. the springy pendulum.
  127. ;[s]
  128. 1:0,0;131,-1;
  129. 1:1,14,11,Times,0,16,0,0,0;
  130. :[font = input; initialization; preserveAspect; endGroup; endGroup; endGroup; ]
  131. *)
  132. Simplify[D[ D[L, theta'[t]], t] - D[L, theta[t]]]
  133. (*
  134. ^*)